Question

如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥E-BCD的体积
（Ⅲ）求异面直线BC₁，CD₁所成角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）连接AC交BD于点O，连接EO．由三角形的中位线定理可得AC₁∥EO．再利用线面平行的判定定理即可得出．
（（III）连接BA₁，A₁C₁．可得△A₁BC₁为等边三角形，四边形A₁BCD₁为平行四边形．于是A₁B∥CD₁，∠A₁BC₁为异面直线BC₁，CD₁所成角．

解答： （I）证明：连接AC交BD于点O，连接EO．
则AO=OC，又E是棱CC₁的中点．
∴AC₁∥EO．
∵EO?平面BDE，AC₁?平面BDE，
∴AC₁∥平面BDE；
（II）V_{三棱锥E-BCD}=

1

2

S△BCD•EC=

1

2

×

1

2

×22×1=1．
（III）连接BA₁，A₁C₁．
则△A₁BC₁为等边三角形，四边形A₁BCD₁为平行四边形．
∴A₁B∥CD₁，
∴∠A₁BC₁为异面直线BC₁，CD₁所成角．
∴∠A₁BC₁=60°为异面直线BC₁，CD₁所成角．

点评：本题考查了正方体的性质、线面平行的判定定理、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．