Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点F的距离为

17

4

．
（1）求P与m的值；
（2）若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用焦半径可得p，再利用抛物线方程即可得出m；
（2）可设PQ的方程为l：y=kx+

1

4

，与抛物线的方程联立得到关于y的一元二次方程，再利用过焦点的弦长公式即可得出．

解答： 解：（1）由

17

4

=4+

p

2

，∴p=

1

2

，
∴x²=y，
∴m²=4，m=±2                  
（2）可设PQ的方程为l：y=kx+

1

4

，
联立

y=kx+ 1 4 x2=y

，
消去x，得y²-（

1

2

+k²）y+

1

16

=0，
∴y₁+y₂=

1

2

+k²，
而|PQ|=y₁+y₂+p=1+k²=5，
∴k²=5-1=4，k=±2．
∴直线l的方程为y=2x+

1

4

或y=-2x+

1

4

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到关于y的一元二次方程得到根与系数的关系、过焦点的弦长公式、焦半径公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．