Question

动点P（x，y）到定点F（1，0）与到定直线，x=2的距离之比为 

2

2

．
（Ⅰ）求P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l（与x轴不重合）与（Ⅰ）中轨迹交于两点M、N．探究是否存在一定点E（t，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EM、EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）直接由题意列等式，化简后求得点P的轨迹方程；
（Ⅱ）假设存在点E（t，0）满足题设条件，并设出M，N的坐标，分MN和x轴垂直和不垂直讨论，当MN和x轴不垂直时设出直线l的方程，和（Ⅰ）中求得的轨迹方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求得M、N的横坐标的和与积，结合x轴平分∠MEN得到K_ME+K_NE=0，进一步转化为含有M、N的横坐标的关系，代入根与系数关系后求得t的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得，

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，
化简得，x²+2y²=2，即

x2

2

+y2=1，即点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若存在点E（t，0）满足题设条件．并设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
当MN⊥x轴时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EM、EN的距离相等．
当MN与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
联立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
根据题意，x轴平分∠MEN，则直线ME、NE的倾斜角互补，即K_ME+K_NE=0．
设E（t，0），则有

y1

x1-t

+

y2

x2-t

=0（当x₁=t或x₂=t时不合题意），
又k≠0，∴

y1

x1-t

+

y2

x2-t

=0，
将y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式，得

k(x1-1)

x1-t

+

k(x2-1)

x2-t

=0，
又k≠0，∴

x1-1

x1-t

+

x2-1

x2-t

=0，
即

(x1-1)(x2-t)+(x2-1)(x1-t)

(x1-t)(x2-t)

=0，

2x1x2-(1+t)(x1+x2)+2t

(x1-t)(x2-t)

=0，
∴2x₁x₂-（1+t）（x₁+x₂）+2t=0，
将x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

代入上式，解得t=2．
综上，存在定点E（2，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EM、EN的距离相等．

点评：本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，常把直线与圆锥曲线联立，化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系解决，是高考试卷中的压轴题．