题目内容
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（2）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E=45°，若存在，试确定E的位置，并求此时二面角A1-BD-E的大小．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题：空间角
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，由此能够证明B1C1 ⊥平面ABB1A 1 ．
（Ⅱ）设AB=BB1=a，CE=x，由余弦定理求出x=
a，从而得到DE⊥平面A1BD，进而得到平面A1BD⊥平面BDE，由此求出二面角A1-BD-E的大小为90°．
（Ⅱ）设AB=BB1=a，CE=x，由余弦定理求出x=
| 1 |
| 2 |
解答：
（Ⅰ）证明：∵AB=BB 1 ，∴四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1，（2分）
又∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，（4分）
又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1 ⊥平面ABB1A 1 ．（5分）
（Ⅱ）解：设AB=BB1=a，CE=x，
∵D为AC的中点，且AC1⊥A1D，∴A1B=A1 C1=
a，
又∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥A1B1，
∴B1C1=a，BE=
，A1E=
=
，
在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1Ecos45°，
即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2
•
a•
，
∴
=2a-x，x=
a，即E是CC1的中点，（9分）
∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，
又∵DE?平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE．（11分）
故二面角A1-BD-E的大小为90°．（12分）
∴A1B⊥AB1，（2分）
又∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，∴A1B⊥B1C1，（4分）
又在直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1 ⊥平面ABB1A 1 ．（5分）
（Ⅱ）解：设AB=BB1=a，CE=x，
∵D为AC的中点，且AC1⊥A1D，∴A1B=A1 C1=
| 2 |
又∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥A1B1，
∴B1C1=a，BE=
| a2+x2 |
| 2a2+(a-x)2 |
| 3a2+x2-2ax |
在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1Ecos45°，
即a2+x2=2a2+3a2+x2-2ax-2
| 3a2+x2-2ax |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| 3a2+x2-2ax |
| 1 |
| 2 |
∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD，
又∵DE?平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE．（11分）
故二面角A1-BD-E的大小为90°．（12分）
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．
练习册系列答案
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