Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠-1．
（Ⅰ）若函数f（x），g（x）在区间[1，3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a∈（1，e]（e=2.71828…），设F（x）=f（x）-g（x），求证：当x₁，x₂∈[1，a]时，不等式|F（x₁）-F（x₂）|＜1成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意得f′（x）•g′（x）=（x+

a

x

）（a+1）=

x2+a

x

•（a+1）≥0，当x∈[1，3]时，

a＞-1 a≤-x2

或

a＜-1 a≤-x2

恒成立，求得-x²的最值，即可得出结论；
（Ⅱ）由题意得F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，利用导数研究函数的单调性及极值、最值，即可得出结论．

解答： 解：（I）f′（x）=x+

a

x

，g′（x）=a+1，
∵f（x），g（x）在区间[1，3]上都为单调函数，且它们的单调性相同，
∴f′（x）•g′（x）=（x+

a

x

）（a+1）=

x2+a

x

•（a+1）≥0，
∵x∈[1，3]，∴（a+1）（a+x²）≥0，
∴当x∈[1，3]时，

a＞-1 a≤-x2

或

a＜-1 a≤-x2

恒成立，
∵-9≤-x²≤-1，∴a＞-1或a≤-9．
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+alnx-（a+1）x，
∴F′（x）=x+

a

x

-（a+1）=

(x-a)(x-1)

x

，
∵F（x）定义域是（0，+∞），a∈（1，e]，即a＞1，
∴F（x）在（0，1）是增函数，在（1，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数
∴当x=1时，F（x）取极大值M=F（1）=-a-

1

2

，
当x=a时，F（x）取极小值m=F（a）=alna-

1

2

a²-a，
∵x₁，x₂∈[1，a]，∴|F（x₁）-F（x₂）|≤|M-m|=M-m，
设G（a）=M-m=

1

2

a²-alna-

1

2

，则G′（a）=a-lna-1，
∴G″（a）=1-

1

a

，∵a∈（1，e]，∴G″（a）＞0，
∴G′（a）=a-lna-1，在a∈（1，e]是增函数，∴G′（a）＞G′（1）=0，
∴G（a）=

1

2

a²-alna-

1

2

，在a∈（1，e]也是增函数
∴G（a）≤G（e），即G（a）≤

1

2

e2-e-

1

2

=

(e-1)2

2

-1，
而

1

2

e2-e-

1

2

=

(e-1)2

2

-1＜

(3-1)2

2

-1=1，
∴G（a）=M-m＜1，
∴当x₁，x₂∈[1，a]时，不等式|F（x₁）-F（x₂）|＜成立．

点评：本题考查导数在求函数单调性中的运用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．