Question

如图，已知三棱锥A-BCD，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若CD=3，AC=10，求点C到平面DEF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明CD垂直平面ABD内的两条相交直线AB、AD，利用直线与平面垂直的判定定理即可证明CD⊥平面ABD；
（2）结合CD=3，AC=10，利用等体积法，即可求点C到平面DEF的距离．

解答： （1）解：∵△BEC为正三角形，F为BC中点，
∴EF⊥BC，∵EF∥AB，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD                  …（3分）
∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD=A，
∴CD⊥平面ABD                                   …（6分）
（2）设点C到平面DEF的距离为h，
∵AC=10，BE=BC=5，∴AB=2EF=5

3

，
在Rt△BDC中，∵F为BC中点，∴DF=

1

2

BC=

5

2

，∴S△EFD=

1

2

DF•EF=

25 3

8

∴VC-EFD=

1

3

S△EFD•h=

25 3 h

24

                   …（8分）
∵CD=3，BC=5，BD=4，∴S△DFC=

1

2

S△DBC=3．
∴VE-CFD=

1

3

S△CFD•EF=

5 3

2

                     …（10分）
V_C-EFD=V_E-CFD∴h=

12

5

∴点C到平面DEF的距离为

12

5

．…（12分）

点评：本题考查点到平面的距离的求法，等体积法的应用，考查平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．