Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P、Q分别是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）证明：PQ∥平面DD₁C₁C；     
（2）求PQ与平面AA₁D₁D所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁C₁，DC₁，则Q为A₁C₁的中点，可得PQ∥DC₁，利用线面平行的判定定理，可得PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）因为PQ∥DC₁，所以PQ、DC₁与平面AA₁D₁D所成的角相等，从而可求PQ与平面AA₁D₁D所成的角．

解答： （1）证明：连接A₁C₁，DC₁，则Q为A₁C₁的中点．
∴PQ∥DC₁且PQ=

1

2

DC₁，
∵PQ?平面DD₁C₁C，DC₁?平面DD₁C₁C，
∴PQ∥平面DD₁C₁C；…（6分）
（2）解：∵PQ∥DC₁，
∴PQ、DC₁与平面AA₁D₁D所成的角相等，
∵DC₁与平面AA₁D₁D所成的角为45°，
∴PQ与平面AA₁D₁D所成的角为45°．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，其中证明PQ∥DC₁是关键．