Question

2．在平面直角坐标系xoy中，曲线y=x²-8x+2与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）设圆C圆心为C，点D坐标为（2，$\frac{1}{2}$），试在直线x-y-6=0上确定一点P，使得|PC|+|PD|最小，求此时点P坐标．

Answer 1

分析 （1）设出圆心坐标，求出曲线y=x²-8x+2与坐标轴的交点，利用交点都在圆C上，即可求得圆C的方程．
（2）求出圆C圆心为C（4，1.5）关于直线x-y-6=0的对称点的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，设圆心坐标为（4，b）
令x=0，则y=2；令y=0，则x=4±$\sqrt{14}$
∴（4-0）²+（b-2）²=（±$\sqrt{14}$）²+b²，
∴b=1.5
∴（4-0）²+（b-2）²=16.25
∴圆C的方程为（x-4）²+（y-1.5）²=16.25，；
（2）圆C圆心为C（4，1.5）关于直线x-y-6=0的对称点的坐标为（a，b），则
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1.5}{a-4}•1=-1}\\{\frac{4+a}{2}-\frac{1.5+b}{2}-6=0}\end{array}\right.$，∴a=7.5，b=-2，|PC|+|PD|最小为$\frac{\sqrt{146}}{2}$
过（7.5，-2），（2，$\frac{1}{2}$）的直线方程为10x+22y-31=0，
与x-y-6=0联立，得P（$\frac{163}{33}$，-$\frac{35}{33}$）．

点评 本题考查圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．