Question

13．设双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线 y=x²+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． 5
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去y，进而根据判别式等于0求得 $\frac{b}{a}$，进而根据c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$求得 $\frac{c}{a}$即离心率．

解答 解：双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（ a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y={x}^{2}+1}\end{array}\right.$，消去y，
x²-$\frac{b}{a}$x+1=0有唯一解，
所以△=（$\frac{b}{a}$）²-4=0，
所以$\frac{b}{a}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．离心率问题是圆锥曲线中常考的题目，解决本题的关键是找到a和b或a和c或b和c的关系．