Question

12．已知函数$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx\;（a∈R）$．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）设函数$g（x）=-\frac{a}{x}$．若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a≥1时，从而得出函数的单调区间；
（2）将问题至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，转化为否定是?x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，从而求出a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，其定义域为x＞0
∴f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{a（1+{x}^{2}）-2x}{{x}^{2}}$，
令a（1+x²）-2x=ax²-2x+a=0，
∴△=4-4a²≥0，解得：-1≤a≤1
∵x＞0，∴0＜a≤1时f′（x）=0有解，
①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在定义域内单调递减；
②当0＜a＜1时，令a（1+x²）-2x=0，解得：x=$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，
x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$）时，f′（x）＞0，x∈（$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，
③当a≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在定义域内单调增，
综上：当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在定义域内单调递减，
当0＜a＜1时，x∈（0，$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$）时，函数f（x）单调递增；，x∈（$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，+∞）时，函数f（x）单调递减；
当a≥1时，函数f（x）在定义域内单调增．
（2）至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
否定是?x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，
∵f（x）-g（x）=ax-2lnx，令ax-lnx≤0，解得：a≤$\frac{2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$（x∈[1，e]），
∴h′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在[1，e]递增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
∴a≤0，
故若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，则只需a＞0即可
实数a的取值范围为（0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．