Question

已知函数f（x）=2

3

sinωx•cosωx+cos（2ωx+

π

3

）（ω＞0）的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，当x=A时函数f（x）取到最值，且△ABC的面积为

3 3

2

，b+c=5，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为：f（x）=sin(2ωx+

π

6

)，根据已知可求ω，从而可求函数f（x）的解析式；
（II）根据已知先求A+

π

6

=

π

2

，  A=

π

3

，由面积公式可求得bc=6．由b+c=5及余弦定理即可求得a的值．

解答： （本题满分12分）．
解：（ I）依题意得：f(x)=

3

sin2ωx+

1

2

cos2ωx-

3

2

sin2ωx（2分）
=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx（3分）
=sin(2ωx+

π

6

)，（4分）
∵ω＞0，
∴T=

2π

2ω

=2π，
∴ω=

1

2

，（5分）
∴f(x)=sin(x+

π

6

)．（6分）
（ II）∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

．
∵f(x)=sin(x+

π

6

)在x=A时取得最值，
∴A+

π

6

=

π

2

，  A=

π

3

．（8分）
∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3 3

2

，
∴bc=6．（9分）
∵b+c=5，
∴a²=b²+c²-2bccosA（10分）=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=25-18=7，（11分）
∴a=

7

．（12分）

点评：本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．