Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，则该数列的前16项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=a_2k-1+1，数列{a_2k-1}为等差数列，a_2k-1=k；当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=2a_2k，数列{a_2k}为等比数列，a2k=2k．分别利用等差数列与等比数列的前n和公式即可得出．

解答： 解：当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=a_2k-1+1，数列{a_2k-1}为等差数列，a_2k-1=a₁+k-1=k；
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=2a_2k，数列{a_2k}为等比数列，a2k=2k．
∴该数列的前16项和S₁₆=（a₁+a₃+…+a₁₅）+（a₂+a₄+…+a₁₆）
=（1+2+…+8）+（2+2²+…+2⁸）
=

8×(1+8)

2

+

2×(28-1)

2-1

=36+2⁹-2
=546．
故答案为：546．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．