Question

设S_n=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，写出S₁，S₂，S₃，S₄的归纳并猜想出结果，并给出证明．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知分别求出S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，S₄=

4

5

，归纳猜想：S_n=

n

n+1

，再利用裂项求和法进行证明．

解答： 解：当n=1，2，3，4时，
计算得原式的值分别为：S₁=

1

2

，S₂=

2

3

，S₃=

3

4

，S₄=

4

5

．
观察这4个结果都是分数，
每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1．
归纳猜想：S_n=

n

n+1

．
证明∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，…，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法及证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．