Question

若n为大于1的自然数，求证

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

7

13

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：数学模型法,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题可以先构造关于n的函数，研究其单调性，得到其最小值，从而得出本题结论．

解答： 解：记f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，n∈N．
∵f(n+1)-f(n)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+1

+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
∴f（n+1）＞f（n），
即f（n）在自然数集上单调递增．
∵n为大于1的自然数，
∴f(n)≥f(2)=

1

3

+

1

4

=

7

12

＞

7

13

．
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＞

7

13

．
故原不等式成立．

点评：本题考查的是构造函数法、放缩法证明不等式，本题有一定的难度，属于中档题．