题目内容
直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与它到y轴的距离之差1．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过原点O作相互垂直的（1）中所求抛物线的两条弦OA、OB，作OQ⊥AB垂足为Q，求点Q的轨迹方程．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过原点O作相互垂直的（1）中所求抛物线的两条弦OA、OB，作OQ⊥AB垂足为Q，求点Q的轨迹方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线，由此可求曲线C方程；
（2）设Q（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用OA⊥OB，结合方程根与系数的关系，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．
（2）设Q（x，y），欲求这条曲线的方程，只须求出x，y之间的关系即可，利用OA⊥OB，结合方程根与系数的关系，将此条件用坐标代入化简即得曲线的方程．
解答：
解：（1）依题意知，动点P到定点F（1，0）的距离等于P到直线x=-1的距离，
∴曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线
∴p=2
∴曲线C方程是y2=4x
（2）设Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
lAB：y=kx+b，（b≠0）代入抛物线方程，消去y得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0，x1x2=
．
∴y1y2=
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
所以
+
=0，b≠0，∴b=4k，∴直线AB过定点M（4，0），
又OQ⊥AB，∴点O的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为（x+2）2+y2=4（y≠0）．
∴曲线C是以原点为顶点，F（1，0）为焦点的抛物线
∴p=2
∴曲线C方程是y2=4x
（2）设Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
lAB：y=kx+b，（b≠0）代入抛物线方程，消去y得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0，x1x2=
| b2 |
| k2 |
∴y1y2=
| 4b |
| k |
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
所以
| b2 |
| k2 |
| 4b |
| k |
又OQ⊥AB，∴点O的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点P的轨迹方程为（x+2）2+y2=4（y≠0）．
点评：本题考查抛物线的定义，考查了直接法求轨迹方程，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
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