题目内容

已知函数f（x）=
alnx
x+1
+
b
x
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．求a，b的值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：求出导数，由切线方程得到切点和切线的斜率，即f（1）=1且f′（1）=-
1
2
，加快得到a，b．
解答： 解：f′（x）=
a(
x+1
x
-lnx)
(x+1)2
-
b
x2
．
由于直线x+2y-3=0的斜率为-
1
2
，且过点（1，1），
故f（1）=1且f′（1）=-
1
2
，
则b=1且
a
2
-b=-
1
2
，
解得a=1，b=1．
点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查导数的运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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已知f（x）为定义在[-1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）3，a为实常数且a＞5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）解关于x的不等式f（sin（x+
π
3
））＞f（cos（x+
π
3
））．
化简：
（1）sin（180°+α）+cos（270°+α）；
（2）
sin(π+α)tan(π-α)
sin(2π+α)tan(2π+α)
．
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+|4-a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．
（Ⅰ）写出X的所有可能值组成的集合S；
（Ⅱ）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求S中每个元素出现的概率．
某人用7把钥匙去开门，其中只有一把钥匙能打开门上的锁，现逐个任取一把钥匙试开，且打不开的钥匙不放回，设X为找到此门钥匙的开门次数．
（1）列出关于随机变量X的分布列；
（2）求关于随机变量X的期望与方差．
证明恒等式：sin4α+cos4α=
3
4
+
1
4
cos4α．
设Sn=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
，写出S1，S2，S3，S4的归纳并猜想出结果，并给出证明．
某地一填从6时至14时的温度函数变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b（|φ|＜π）
（1）求这段时间的最高和最低气温；
（2）求A，ω，φ，b的值．
函数f（x）=
a
x
+lnx-1（a是常数），
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[
1
e
，e]上有两解，求m的取值范围；（e≈2.71828）

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