Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，若数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）
（1）设b_n=

1

an

，求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足：c_n=

2n

an

，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出an=

an-1

an-1+1

，从而得到b_n=

1

an

=

an-1+1

an-1

=1+

1

an-1

，由此能够证明数列{b_n}是等差数列．
（2）由（1）知

1

an

-

1

an-1

=1，a₁=1，从而得到

1

an

=n，由此能求出an=

1

n

．
（3）由Cn=2nn，利用错位相减求和法能求出数列{c_n}的前n项的和S_n．

解答： （1）证明：∵数f（x）=

x

x+1

，数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=

an

an+1

，∴an=

an-1

an-1+1

，
∴b_n=

1

an

=

an-1+1

an-1

=1+

1

an-1

，
∴b_n-b_n-1=

1

an

-

1

an-1

=1，
∴数列{b_n}是等差数列．
（2）解：由（1）知

1

an

-

1

an-1

=1，a₁=1，
∴{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

an

=n，∴an=

1

n

．
（3）解：∵an=

1

n

，c_n=

2n

an

，∴Cn=2nn，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=(n-1)2n+1+2．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．