Question

已知函数f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），由x=2为极值点得f′（2）=0，可求a，切线斜率k=f′(1)=-

1

8

，切点为（1，0），由点斜式可求切线方程；
（2）由f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，知f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数a后，转化为求函数的最值，利用基本不等式可求最值；

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

-

a(x+1)-a(x-1)

(x+1)2

=

(x+1)2-2ax

x(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

．
由题意知f′（2）=0，代入得a=

9

4

，经检验，符合题意．
从而切线斜率k=f′(1)=-

1

8

，切点为（1，0），
∴切线方程为x+8y-1=0；
（2）f′(x)=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

．
∵f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

即x2+(2-2a)x+1≥0在(0，+∞)上恒成立. 当x∈(0，+∞)时，由x2+(2-2a)x+1≥0，得2a-2≤x+ 1 x . 设g(x)=x+ 1 x ，x∈(0，+∞)．g(x)=x+ 1 x ≥2 x• 1 x =2. 所以当且仅当x= 1 x ，即x=1时，g(x)有最小值2.

∴2a-2≤2．∴a≤2．
∴a的取值范围是（-∞，2]．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值，考查函数恒成立，考查转化思想．