题目内容
已知（2x+
）n展开式的二项式系数之和比（
+
）2n展开式的二项式系数之和小240．
（1）求（
+
）2n展开式中所有的x的有理项；
（2）若（2x+
）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，求（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2值．
| 3 |
| x |
| 1 | |||
2
|
（1）求（
| x |
| 1 | |||
2
|
（2）若（2x+
| 3 |
考点：二项式系数的性质
专题：二项式定理
分析：（1）由题意可得22n-2n=240，解得 n=4，可得（
+
）2n=（
+
）8 的开式的通项公式，令x的幂指数
为有理数，可得r=0，4，8，从而得到展开式的有理项．
（2）当n=4时，（2x+
）n=（2x+
）4=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4，分别令x=1、令x=-1，得到2个式子，再把这2个式子相乘，可得（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2值．
| x |
| 1 | |||
2
|
| x |
| 1 | |||
2
|
| 16-3r |
| 4 |
（2）当n=4时，（2x+
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（1）由题意可得22n-2n=240，解得 n=4．
（
+
）2n=（
+
）8 的开式的通项公式为 Tr+1=
•2-r•x
，
令
为有理数，可得r=0，4，8，故展开式的有理项有：T1=x4，T5=
x，T9=
x-2．
（2）当n=4时，（2x+
）n=（2x+
）4=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4，
令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+
)4，
令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a4 =(-2+
)4，
∴（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（ a0+a1+a2+a3+a4）•（a0-a1+a2-a3+a4 ）=(2+
)4•(2-
)4=1．
（
| x |
| 1 | |||
2
|
| x |
| 1 | |||
2
|
| C | r 8 |
| 16-3r |
| 4 |
令
| 16-3r |
| 4 |
| 35 |
| 8 |
| 1 |
| 256 |
（2）当n=4时，（2x+
| 3 |
| 3 |
令x=1可得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+
| 3 |
令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+a4 =(-2+
| 3 |
∴（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（ a0+a1+a2+a3+a4）•（a0-a1+a2-a3+a4 ）=(2+
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
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