题目内容
（1）用综合法证明：a+b+c≥
+
+
（a，b，c∈R+）
（2）若下列方程：x2=4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0，至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
| ab |
| bc |
| ca |
（2）若下列方程：x2=4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0，至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
考点：反证法与放缩法,综合法与分析法(选修）
专题：选作题,反证法,不等式的解法及应用
分析：（1）利用2（a+b+c）-2（
+
+
）=（
-
）2+（
-
）2+（
-
）2≥0，可得结论；
（2）至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法
| ab |
| bc |
| ca |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
（2）至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法
解答：
（1）证明：由于2（a+b+c）-2（
+
+
）=（
-
）2+（
-
）2+（
-
）2≥0，
∴2（a+b+c）≥2（
+
+
），
∴a+b+c≥
+
+
；
（2）解：假设没有一个方程有实数根，则：
16a2-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）2-4a2＜0（2）
4a2+8a＜0（3）
解之得：-1.5＜a＜-1
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥-1或a≤-1.5}．
| ab |
| bc |
| ca |
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
∴2（a+b+c）≥2（
| ab |
| bc |
| ca |
∴a+b+c≥
| ab |
| bc |
| ca |
（2）解：假设没有一个方程有实数根，则：
16a2-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）2-4a2＜0（2）
4a2+8a＜0（3）
解之得：-1.5＜a＜-1
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥-1或a≤-1.5}．
点评：本题主要考查用综合法（由因导果）证明不等式、考查反证法，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．属于中档题．
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