Question

5．已知在体积为12π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A-BCD的体积最大值等于8．

Answer 1

分析 设上、下底面圆的圆心分别为O₁，O，圆的半径为r，推导出V_A-BCD=V_C-BCD+V_D-OAB，由C到平面图OAB的距离与D到平面OAB的距离相等，得到V_A-BCD=2V_C-OAB，由此能求出三棱锥A-BCD的体积最大值．

解答 解：设上、下底面圆的圆心分别为O₁，O，圆的半径为r，
由已知${V}_{圆柱}=π{r}^{2}$•OO₁=12π，
∴r²•OO₁=12，
∴V_A-BCD=V_C-BCD+V_D-OAB，
∵O是CD的中点，∴C到平面图OAB的距离与D到平面OAB的距离相等，
∴V_C-OAB=V_D-OAB，∴V_A-BCD=2V_C-OAB，
设三棱锥C-OAB的高为h，则h≤r，
∴V_A-BCD=2V_D-OAB，
设三棱锥C-OAB的高为h，则h≤r，
∴${V}_{A-BCD}=2{V}_{D-OAB}=\frac{2}{3}{S}_{△OAB}•h$
=$\frac{2}{3}•\frac{1}{2}•AB•O{O}_{1}•h$=$\frac{2}{3}r•O{O}_{1}•h$≤$\frac{2}{3}{r}^{2}•O{O}_{1}$=$\frac{2}{3}×12=8$，
∴三棱锥A-BCD的体积最大值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想是，是中档题．