Question

16．已知等差数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的首项b₁=1，且a₂=b₃，S₃=6b₂，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=b_n+（-1）ⁿa_n，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．根据a₁=2，b₁=1，且a₂=b₃，S₃=6b₂，n∈N^*．
可得2+d=q²，3×2+$\frac{3×2}{2}d$=6q，联立解得d，q．即可得出．．
（2）c_n=b_n+（-1）ⁿa_n=2^n-1+（-1）ⁿ•2n．可得数列{c_n}的前n项和为T_n=1+2+2²+…+2^n-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]=2ⁿ-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
∵a₁=2，b₁=1，且a₂=b₃，S₃=6b₂，n∈N^*．
∴2+d=q²，3×2+$\frac{3×2}{2}d$=6q，
联立解得d=q=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，b_n=2^n-1．
（2）c_n=b_n+（-1）ⁿa_n=2^n-1+（-1）ⁿ•2n．
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=1+2+2²+…+2^n-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]=2ⁿ-1+[-2+4-6+8+…+（-1）ⁿ•2n]．
∴n为偶数时，T_n=2ⁿ-1+[（-2+4）+（-6+8）+…+（-2n+2+2n）]．
=2ⁿ-1+n．
n为奇数时，T_n=2ⁿ-1+$2×\frac{n-1}{2}$-2n．
=2ⁿ-2-n．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1-n，n为偶数}\\{{2}^{n}-2-n，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．