Question

13．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2^x，若存在x₀∈[1，2]使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，则实数a的取值范围是[$\frac{17}{6}，\frac{257}{60}$]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2^x-2^-x，则t＞0，通过变形可得a=t+$\frac{2}{t}$，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．

解答 解：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
又∵由f（x）+g（x）=2^-x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^x，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）．
等式af（x）+g（2x）=0，化简为-$\frac{a}{2}$（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）=0．
∵x∈[1，2]，∴$\frac{3}{2}$≤2^x-2^-x≤$\frac{15}{4}$，
令t=2^x-2^-x，则t＞0，因此将上面等式整理，得：a=t+$\frac{2}{t}$，
函数h（t）=t+$\frac{2}{t}$在[$\frac{3}{2}$$，\frac{15}{4}$]递增，$\frac{17}{6}$≤t+$\frac{2}{t}$≤$\frac{257}{60}$，
则实数a的取值范围是[$\frac{17}{6}，\frac{257}{60}$]，
故答案为：[$\frac{17}{6}，\frac{257}{60}$]．

点评 题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．属于中档题