题目内容

15．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy极点，x的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，设直线与圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程与α的取值范围；
（Ⅱ）若点P的坐标为（-1，0），求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$取值范围．

分析 （Ⅰ）由圆的极坐标方程，能求出圆C的直角坐标方程，把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入x2+y2-2x=0，得t2-4tcosα+3=0，由此利用根的判别式能求出α的取值范围．
（Ⅱ）设方程t2-4tcosα+3=0的两个实数根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义可知：$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{|{4cosα}|}}{3}$，由此能求出$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，
∴圆C的直角坐标方程x2+y2-2x=0，
把$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入x2+y2-2x=0，得t2-4tcosα+3=0，
又直线l与圆C交于A，B两点，∴△=16cos2α-12＞0，
解得：$cosα＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$cosα＜-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（4分）
又由α∈[0，π），故α的取值范围$α∈[{0，\frac{π}{6}}）∪（{\frac{5π}{6}，π}）$．   
（Ⅱ）设方程t2-4tcosα+3=0的两个实数根分别为t1，t2，
则由参数t的几何意义可知：$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{|{{t_1}+{t_2}}|}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{|{4cosα}|}}{3}$，
又由$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜|cosα|≤1$，∴$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜\frac{{|{4cosα}|}}{3}≤\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的取值范围为$（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{4}{3}}]$．

点评 本题考查圆的直角坐标方程及角的取值范围的求法，考查两线段倒数和的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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