Question

14．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．

（1）求弧$\widehat{BCD}$所在圆的半径；
（2）求桥底AE的长．

Answer 1

分析 （1）由r²=5²+（r-1）²，即可求得r，即可求得弧$\widehat{BCD}$所在圆的半径；
（2）建立直角坐标系，由题意设$\widehat{BCD}$所在圆的方程，列方程组，即可求得圆的方程，曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x-m）²，求导，根据导数的几何意义，即可求得m的值，求得A和E点坐标，即可求得桥底AE的长为58米．

解答 解：（1）设弧$\widehat{BCD}$所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r²=5²+（r-1）²，则r=13，
即弧$\widehat{BCD}$所在圆的半径为13米．                          …（4分）
（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，
∴B（-5，5），D（5，5），C（0，6），设$\widehat{BCD}$所在圆的方程为x²+（y-b）²=r²，（r＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{（6-b）^2}={r^2}\\{5^2}+{（5-b）^2}={r^2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{b=-7}\\{r=13}\end{array}\right.$，
∴弧$\widehat{BCD}$的方程为x²+（y+7）²=169（5≤y≤6）…6分
设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x-m）²，…（8分）
由点B（-5，5），在曲线AB上  
∴5=a（5+m）²，?…（10分）
又弧$\widehat{BCD}$与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧$\widehat{BCD}$在点B处的切线的斜率为$\frac{5}{12}$，
由y=a（x-m）²，y′=2a（x-m），2a（-5-m）=$\frac{5}{12}$，
2a（5+m）=-$\frac{5}{12}$，…（12分）
由??得m=-29，A（-29，0），E（29，0）
∴桥底AE的长为58米；   …（13分）
答：（1）弧$\widehat{BCD}$所在圆的半径为13米；
（2）桥底AE的长58米．  （答和单位各1分） …（14分）

点评 本题考查圆方程的求法，抛物线的性质，导数的几何意义，考查计算能力，属于中档题．