Question

17．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₂=4，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的信托公司即可得出．
（II）l利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₂=4，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
即4-d，4+d，4+7d成等比数列，
所以有（4-d）（4+7d）=（4+d）²，
即d²-2d=0，d≠0．
解得d=2，
∴a_n=a₂+（n-2）×2=4+2n-4=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=a_n+${2}^{{a}_{n}}$=2n+4ⁿ，
∴T_n=2（1+2+…+n）+（4+4²+…+4ⁿ）
=$2×\frac{n（1+n）}{2}$+$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$
=n²+n+$\frac{{4}^{n+1}-4}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．