Question

7．如图，在平面四边形ABCD中，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=32$．
（1）若$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为30°，求△ABC的面积S_△ABC；
（2）若$|{\overrightarrow{AC}}|=4，O$为AC的中点，G为△ABC的重心（三条中线的交点），且$\overrightarrow{OG}$与$\overrightarrow{OD}$互为相反向量，求$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得BA•BC的值，可得△ABC的面积S_△ABC的值．
（2）以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设D（x，y），由条件求得点B的坐标，从而求得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}$的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=32$，∴BA•BCcos30°=32，
∴$BA•BC=\frac{32}{{cos{{30}°}}}=\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BA•BCsin{30°}=\frac{1}{2}×\frac{{64\sqrt{3}}}{3}×\frac{1}{2}=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$．
（2）以O为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的
平面直角坐标系．
则A（-2，0），C（2，0），设D（x，y），
则$\overrightarrow{OD}=（{x，y}）$，因为$\overrightarrow{OG}$与$\overrightarrow{OD}$互为相反向量，所以$\overrightarrow{OG}=（{-x，-y}）$．因为G为△ABC的重心，所以$\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OG}=（{-3x，-3y}）$，
即B（-3x，-3y），∴$\overrightarrow{BA}=（{3x-2，3y}），\overrightarrow{BC}=（{3x+2，3y}）$，
因此$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=9{x^2}-4+9{y^2}$=32，即x²+y²=4．
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CD}=（{x+2，y}）•（{x-2，y}）={x^2}+{y^2}-4=0$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，用坐标法求两个向量的数量积，属于中档题．