Question

17．在△ABC所在平面内一点P，满足$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，延长BP交AC于点D，若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AC}$，则λ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 用特殊值法，不妨设△ABC是等腰直角三角形，腰长AB=AC=1，建立直角坐标系，利用坐标法和向量共线，求出点D的坐标，即可得出λ的值．

解答 解：根据题意，不妨设△ABC是等腰直角三角形，
且腰长AB=AC=1，
建立直角坐标系，如图所示，
则A（0，0），B（1，0），C（0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，1）；
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$），
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{5}$）；
设点D（0，y），
则$\overrightarrow{BD}$=（-1，y），
由$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{BD}$共线，得y=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，1），
当$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AC}$时，
λ=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面向量的基本定理及其意义，也考查了转化思想与运算求解能力．