Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=

2

2

，A，B是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）若直线OA与OB的斜率乘积k_OA•k_OB=-

1

2

，动点P满足

OP

=

OA

+λ

OB

，（其中实数λ为常数）．问是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点A在第一象限，且点A，B关于原点对称，点A在x轴上的射影为C，连接BC并延长交椭圆于点D．证明：AB⊥AD．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率计算公式和b²=a²-c²即可得出；
（Ⅱ）利用向量的坐标运算、点在椭圆上满足椭圆的方程、斜率计算公式及其椭圆的定义即可得出；
（Ⅲ）利用对称的知识、斜率计算公式及其点A，D在椭圆上，只要证明k_AB•k_AD=-1，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知：

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由

OP

=

OA

+λ

OB

得
（x，y）=（x₁，y₁）+λ（x₂，y₂）=（x₁+λx₂，y₁+λy₂），
即x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂．
∵点A、B在椭圆x²+2y²=2上，
∴x12+2y12=2，x22+2y22=2，
故x²+2y²=（x12+λ²x22+2λx₁x₂）+2（y12+λ²y22+2λy₁y₂）
=（x12+2y12）+λ²（x22+2y22）+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）
=2+2λ²+2λ（x₁x₂+2y₁y₂）．
∵k_OA•k_OB=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=2+2λ²．即

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1．
∴P点是椭圆

x2

2+2λ2

+

y2

1+λ2

=1上的点，
设该椭圆的左、右焦点为F₁，F₂，
由椭圆的定义可知：|PF₁|+|PF₂|为定值．
又∵c=

1+λ2

，
∴此椭圆的两焦点的坐标为F₁（-

1+λ2

，0），F₂（

1+λ2

，0）．
∴存在两个定点F₁（-

1+λ2

，0），F₂（

1+λ2

，0）．使得|PF₁|+|PF₂|=2

2+2λ2

．
（Ⅲ）证明：设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由题设可知：x₁＞0，x₂＞0，y₁＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，C（x₁，0），B（-x₁，-y₁）．
由题意可知：k_CB=k_BD，∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

③
kAB•kAD+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1④
将③代入④可得：kAB•kAD+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

( x 2 2 +2 y 2 2 )-( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

⑤
点A，D在椭圆x²+2y²=2上，
∴kAB•kAD+1=

( x 2 2 +2 y 2 2 )-( x 2 1 +2 y 2 1 )

x 2 2 - x 2 1

=

2-2

x 2 2 - x 2 1

=0．
∴k_AB•k_AD=-1，
∴AB⊥AD．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点在椭圆上可知满足椭圆的方程、斜率计算公式、对称的性质、直线垂直与斜率的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．