Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设g(x)=

f(x)

x

，x＞-1且x≠0，证明：g（x）＜1．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）利用函数的 单调性，证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-xe^x．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（x）的最大值为f（0）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．
当-1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．
设h（x）=f（x）-x，
则h′（x）=-xe^x-1．
当x∈（-1，-0）时，0＜-x＜1，0＜e^x＜1，
则0＜-xe^x＜1，
从而当x∈（-1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（-1，0]单调递减．
当-1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，
即g（x）＜1．
综上，总有g（x）＜1．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．