Question

已知函数f（x）=ax²-1nx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）对于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间与极值；
（2）对于任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，等价于f（x）_min≥3，分类讨论，求最值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=

2x2-1

x

，
x∈（0，

2

2

）时，f（x）单调递减，x∈（

2

2

，e）时，f（x）单调递增，
所以x=

2

2

时，f（x）_极小值=f（

2

2

）=

1

2

+

1

2

ln2；
（2）任意的x∈（0，e]，f（x）≥3恒成立，等价于f（x）_min≥3，
f′（x）=

2ax2-1

x

，x∈（0，e]，
①a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）递减，f（x）_min=f（e）=ae²-1≥3，∴a≥

4

e2

，不符合题意；
②a＞0时，f′（x）=

2ax2-1

x

=0，得x=±

1 2a

．
若

1 2a

≥e，即a≤

1

2e2

，则f'（x）≤0，f（x）在（0，e]递减，f_min（x）=f（e）所以f(e)=ae2-1≥3⇒a≥

4

e2

，所以a无解．            （12分）
若

1 2a

＜e，即a＞

1

2e2

时，当x∈(0，

1 2a

)时f（x）单调递减；当x∈(

1 2a

，e)时f（x）单调递增．
所以fmin(x)=f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a，

1

2

+

1

2

ln2a≥3，解得a≥

e5

2

，
所以a≥

e5

2

（15分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．