Question

已知函数f（x）=（1+x）•e^-2x，g（x）=ax-x²+1+x•cosx．
（1）若f（x）在x=-1处的切线与g（x）在x=0处的切线互相垂直，求a的值；
（2）求证（1+x）•e^-x≥（1-x）•e^x，x∈[0，1]；
（3）求证：当a≤-2时，f（x）≥g（x）在区间[0，1]上恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，结合f（x）在x=-1处的切线与g（x）在x=0处的切线互相垂直，求a的值；
（2）设F（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，证明f（x）在x∈[0，1]时，为单调递增函数，即可证明结论；
（3）证明f（x）-g（x）≥x（x-cosx-1-a）≥0恒成立即可．

解答： （1）解：∵f（x）=（1+x）•e^-2x，
∴f'（x）=（-2x-1）e^-2x，f（-1）=e²；
∵g（x）=ax-x²+1+x•cosx，
∴g'（x）=a-2x+cosx-x•sinx，g'（0）=a+1，
∵f（x）在x=-1处的切线与g（x）在x=0处的切线互相垂直，
∴e2(a+1)=-1∴a=-

1

e2

-1；
（2）证明：设F（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，则F'（x）=xe^x（1-e^-2x），
当x∈（0，1]时，F'（x）≥0恒成立，∴f（x）在x∈[0，1]时，为单调递增函数，
∴F（x）_min=f（0）=0，
∴（1+x）e^-x-（1-x）e^x≥0恒成立，
∴（1+x）e^-x≥（1-x）e^x
（3）证明：由（2）可得e-2x≥

1-x

1+x

，
f（x）-g（x）=（1+x）•e^-2x-（ax-x²+1+x•cosx）≥1-x-（ax-x²+1+x•cosx）=-（1+a）x+x²-x•cosx=x（x-cosx-1-a）
设G（x）=x-cosx-1-a，则G'（x）=1+sinx，x∈（0，1]，G'（x）＞0恒成立，
∴x∈[0，1]时，G（x）≥G（0）=-2-a，
又∵a≤-2，∴G（x）≥0恒成立，
∴f（x）-g（x）≥x（x-cosx-1-a）≥0恒成立，
∴f（x）≥g（x）恒成立．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查构造函数，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．