Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n-1．
（1）求{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞8n-7的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）na_n=n•2^n-1．利用“错位相减法”可得数列{na_n}的前n项和为T_n，进而得出．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，通项a_n=1×2^n-1．
（2）∵na_n=n•2^n-1．
∴数列{na_n}的前n项和为T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
两式相减可得：-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
T_n＞8n-7化为（n-1）•2ⁿ+8＞8n，
化为（n-1）（2ⁿ-8）＞0，
n=1，2，3时都不成立．
当n=4时成立，
∴使T_n＞8n-7的最小正整数n=4．

点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．