Question

已知函数f（x）=-x²+2ax-3a．
（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）存在零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）分别求出当a=1和a=2时函数f（x）在[1，3]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知得二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=a，根据函数y=f（x）在（-∞，1）上是增函数，可得实数a的取值范围．
（Ⅱ）由判别式△≥0，求得实数a的取值范围．
（Ⅲ）①当a=1时，根据函数f（x）在[1，3]上是减函数，求得f（x）_max的值；②当a=2时，根据函数f（x）在[1，2]上是增函数，在（2，3]上是减函数，求得f（x）_max的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f（x）=-x²+2ax-3a=-（x-a）²+a²-3a，
∵函数y=f（x）在（-∞，1）上是增函数，所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ）因为函数y=f（x）存在零点，∴△=（2a）²-4×（-1）×（-3a）≥0，即a²-3a≥0，
解得a≤0，或a≥3，故实数a的取值范围是（-∞，0]∪[3，+∞）．
（Ⅲ）①当a=1时，函数f（x）=-x²+2x-3在[1，3]上是减函数，于是，f（x）_max=f（1）=-2．
②当a=2时，函数f（x）=-x²+4x-6在[1，2]上是增函数，在（2，3]上是减函数，
于是，f（x）_max=f（2）=-2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题．