Question

已知函数f（x）=log_a

x+2

x-2

(a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）利用函数的奇偶性定义加以判断，得到本题结论；（Ⅱ）利用比哦单调性的定义加以判断和证明，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）是奇函数．
证明如下：
由

2+x

x-2

＞0得（x+2）（x-2）＞0，
∴x＜-2或x＞2，
∴函数y=f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
任取x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
则-x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
∵f(-x)=loga

-x+2

-x-2

=loga

x-2

x+2

=loga(

x+2

x-2

)-1=-loga

x+2

x-2

=-f(x)
∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=loga

x1+2

x1-2

-loga

x2+2

x2-2

=loga

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

，
∵

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

-1=

(x1+2)(x2-2)-(x1-2)(x2+2)

(x1-2)(x2+2)

=

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵2＜x₁＜x₂+∞，
∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＞0，
∴

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0，即

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

＞1．
又∵0＜a＜1，
∴loga

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

＜loga1=0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，本题难度不大，属于基础题．