Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）cos（x-

π

4

），x∈R
（Ⅰ）将f（x）化为f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）；
（Ⅱ）若对任意x∈[-

π

12

，

π

2

]，都有f（x）≥a成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若将y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，后向左平移

π

6

个单位得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）-

1

3

在区间[-2π，4π]内所有零点之和．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简f（x）化为f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）；
（Ⅱ）对任意x∈[-

π

12

，

π

2

]，都有f（x）≥a成立，转化为函数的最小值问题，然后求a的取值范围；
（Ⅲ）利用将y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，后向左平移

π

6

个单位得到函数y=g（x）的图象，求出g（x）的表达式，然后利用数形结合画出函数g（x）=sinx，y=-

1

3

的图象，利用函数的性质求解在区间[-2π，4π]内所有零点之和．

解答： 解：（I）f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+sin(2x-

π

2

)…（2分）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x…（4分）
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin(2x-

π

6

)…（6分）
（II）若对任意x∈[-

π

12

，

π

2

]，都有f（x）≥a成立，则只需f_min（x）≥a即可
∵-

π

12

≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，…（8分）
∴当2x-

π

6

=-

π

3

即x=-

π

12

时，
f（x）有最小值即fmin(x)=f(-

π

12

)=-

3

2

故求a的取值范围为：a≤-

3

2

…（10分）
（III）依题意可得：g（x）=sinx
由g(x)-

1

3

=0得sinx=

1

3

由图可知，原函数有6个零点：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆根据对称性有：

x1+x2

2

=-

3π

2

，

x3+x4

2

=

π

2

，

x5+x6

2

=

5π

2

从而，所有零点和为：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=3π…（14分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的零点以及数形结合、转化思想的应用，考查计算能力．