题目内容
已知二次函数f（x）对任意实数t满足关系f（2+t）=f（2-t），且f（x）有最小值-9．又知函数f（x）的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数f（x）的解析式．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：利用待定系数法，设出函数的解析式，根据函数f（2+t）=f（2-t），求出对称轴，函数f（x）的图象与x轴交点A，B的距离为6，即可求得二次函数f（x）的解析式；
解答：
解：（1）∵f（x）的最小值为-9，
∴可设f（x）=a（x-h）2-9（a＞0）…（2分）
又f（2+t）=f（2-t），
∴函数的对称轴为x=2，
∴f（x）=a（x-2）2-9．
∴h=2 …（4分）
∴f（x）=a（x-2）2-9
由f（x）=a（x-2）2-9=0，
可得x1=2-
，x2=2+
，
∴A、B的距离为|x1-x2|=2×
=6，
∴a=1
∴f（x）=（x-2）2-9．
函数f（x）的解析式：f（x）=（x-2）2-9…（6分）
∴可设f（x）=a（x-h）2-9（a＞0）…（2分）
又f（2+t）=f（2-t），
∴函数的对称轴为x=2，
∴f（x）=a（x-2）2-9．
∴h=2 …（4分）
∴f（x）=a（x-2）2-9
由f（x）=a（x-2）2-9=0，
可得x1=2-
| 3 | ||
|
| 3 | ||
|
∴A、B的距离为|x1-x2|=2×
| 3 | ||
|
∴a=1
∴f（x）=（x-2）2-9．
函数f（x）的解析式：f（x）=（x-2）2-9…（6分）
点评：本题考查函数解析式的确定，二次函数的基本性质的应用，考查待定系数法的运用，函数的最值的判断是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列函数满足|x|≥|f（x）|的是（ ）
| A、f（x）=ex-1 |
| B、f（x）=ln（x+1） |
| C、f（x）=tanx |
| D、f（x）=sinx |