Question

定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x₁、x₂都有f（

x1+x2

2

）≥

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=-x²在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f（x）=x²+

a

x

在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据凸函数定义判断条件是否满足即可得到结论．
（2）根据凸函数定义，建立条件关系，转化为参数恒成立即可得到结论．

解答： 解：（1）设x₁，x₂是R上的任意两个数，则f(

x1+x2

2

)=-(

x1+x2

2

)2，

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

(-x12-x22)…（1分）
∵f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=-(

x1+x2

2

)2-

1

2

(-x12-x22)=

2x12+2x22-x12-x22-2x1•x2

4

=

x12+x22-2x1•x2

4

=

(x1-x2)2

4

≥0…（5分）
∴f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴函数f（x）=-x²在R上是“凸函数”…（6分）
（2）设x₁，x₂是

1，&2

上的任意两个数，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(x12+

a

x1

)+(x22+

a

x2

)]                        …（7分）
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1•x2(x1+x2)…（9分）
①若x₁=x₂，a可以取任何值                                            …（10分）
②若x₁≠x₂，a≤-

1

2

x1•x2(x1+x2)，
∵x₁，x₂∈[1，2]，
∴-8≤-

1

2

x1•x2(x1+x2)≤-1，
∴a≤-8…（13分）
综上所述得a≤-8  …（14分）

点评：本题主要考查函数性质的考查，利用凸函数的定义是解决本题的关键，考查学生的计算能力．