Question

已知直线l：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的右焦点F，抛物线：x²=4

2

y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=3上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ₁

AF

，

MB

=λ₂

BF

．证明：λ₁+λ₂的值定值；
（Ⅲ）连接AE、BD，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，b=

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意知l与y轴交于M(0，-

1

m

)，设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线代入椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理能推导出当m变化时，λ₁+λ₂的值是定值-3．
（Ⅲ）先探索，当m=0时，AE与BD相交FK的中点NN（2，0），再猜想：当m变化时，AE与BD相交于点N（2，0），然后进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）由题设条件知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线x2=4

2

y的焦点坐标(0，

2

)…（1分）
∴b=

2

∴b2=2，
∴a²=b²+c²=3，
∴椭圆C的方程

x2

3

+

y2

2

=1．…（3分）
（Ⅱ）由题意知m≠0，且l与y轴交于M(0，-

1

m

)，
设直线l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

⇒(2m2+3)y2+4my-4=0
∴y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1•y2=

-4

2m2+3

…（5分）
又由

MA

=λ1

AF

∴(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)，
∴λ1=-1-

1

my1

，同理λ2=-1-

1

my2

∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)…（7分）
∵

1

y1

+

1

y2

=

y1+y2

y1y2

=

-4m

2m2+3

•(

2m2+3

-4

)=m…（8分）
∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

1

m

•m=-3
所以，当m变化时，λ₁+λ₂的值是定值，定值为-3．…（9分）
（Ⅲ）先探索，当m=0时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，
由对称性知，AE与BD相交FK的中点N，且N（2，0），
猜想：当m变化时，AE与BD相交于点N（2，0）．
证明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（3，y₁），E（3，y₂），
当m变化时，首先证明直线AE过定点N（2，0），
∵l_AE：y-y₂=

y2-y1

3-x1

（x-3），
当x=2时，
y=y₂+

y2-y1

3-x1

•（-1）=

my1y2-(y1+y2 )

my1-2

=

-4m+4m

(my1-2)(2m2-3)

=0，
∴点N（2，0）在直线l_AE上，
同理可证，点N（2，0）也在直线l_BD上，
∴当m变化时，AE与BD相交于点N（2，0）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两数和这定值的证明．考查两直线交于定点的探索与证明，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．