Question

已知平行四边形ABCD （如图1）中，AB=4，BC=5，对角线AC=3，将三角形△ACD沿AC折起至△PAC位置（图2），使二面角P-AC-B为60°，G，H分别是PA，PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BGH；
（Ⅱ）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）证明线面垂直，只需证明线和平面内两条相交线垂直即可，由于G，H是△PAC的中位线，所以GH∥AC，由已知AB=4，BC=5，对角线AC=3，能求出GH⊥PC，只需再找出一条垂线即可，只要证得PB=BC，便可得到BH⊥PC，从而问题得证．
（Ⅱ）以CE的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：过C作CE∥AB，且CE=AB，连结BE，PE，
∵AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB，
∴四边形ABCD是矩形，AC⊥CE，
∵PC⊥AC，∴AC⊥平面PEC，
∴∠PCE=60°，
∵PC=CE=4，∴△PCB是正三角形，
∵BE∥AC，∴BE⊥平面PEC，
∴BE⊥PE，∴PB=

PE2+BE2

=5=BC，
而H是PC的中点，∴BH⊥PC，
∵G，H是△PAC的中位线，
∴GH∥AC，∴GH⊥PC，
∵GH∩BH=H，
∴PC⊥平面BGH．
（Ⅱ）解：以CE的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知A（3，-2，0），B（3，2，0），P（0，0，2

3

），C（0，-2，0），
∴

PA

=(3，-2，-2

3

)，

PB

=（3，2，-2

3

），

PC

=(0，-2，-2

3

)，
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

PA

=0，

n

•

PB

=0，
∴

3x-2y-2 3 z=0 3x+2y-2 3 z=0

，取x=2

3

，得y=0，z=3，∴

n

=(2

3

，0，3)，
平面BGH的法向量

PC

=(0，-2，-2

3

)，
设平面PAB与平面BGH所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=|

-6 3

21 • 16

|=

3 7

14

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．