Question

定义在R上的连续函数y=f（x），对任意x满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0．则下列结论正确的有

 

①函数y=f（x+2）为偶函数；
②f（

2

）＞f（sin18°+cos18°）；
③若f（2）=2014，f（2014）=-2，则y=f（x）有两个零点；
④若x₁＜x₂且x₁+x₂＞4则f（x₁）＜f（x₂）；
⑤在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，且f（

3

sinA）＜f（sin（C-

π

6

）），则△ABC为钝角三角形．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据函数的对称性，求出函数y=f（x）的对称轴，进而根据函数图象的平移变换，求出函数y=f（x+2）的对称轴，可判断①；根据已知结合导数符号与原函数单调性的关系，分析出函数的单调性，进而可判断②，④，再结合零点存在定理可判断③；根据三数成等差数列，结合三角形内角和定理，求出B，A+C，根据函数在（-∞，2）上的单调性，去掉f，应用和差公式，化简得到cosC＜0，可判断⑤．

解答： 解：①∵y=f（x）对任意x满足f（4-x）=f（x），
∴f（x）的图象关于直线x=2对称，
将y=f（x）的图象向左平移2个单位，得到函数y=f（x+2）的图象，
∴函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，即函数y=f（x+2）为偶函数，
故①正确；
②∵（x-2）f′（x）＜0，
∴x＜2时f′（x）＞0，x＞2时f′（x）＜0，
即f（x）在（-∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
又sin18°+cos18°=

2

sin（45°+18°）＜

2

，
∴f（

2

）＞f（sin18°+cos18°），
故②正确；
③若f（2）=2014，f（2014）=-2，
∵f（4-x）=f（x），∴f（-2010）=f（2014）=-2，
∴由零点存在定理得，
f（x）在（-2010，2），（2，2014）内各有一个零点，
∴y=f（x）有两个零点，
故③正确；
④∵x₁＜x₂且x₁+x₂＞4，∴2＜4-x₁＜x₂，
∴f（4-x₁）＞f（x₂）即f（x₁）＞f（x₂），
故④错误；
⑤在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，则A+C=2B，
又A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°，
∵f（x）在（-∞，2）上递增，且f（

3

sinA）＜f（sin（C-

π

6

）），
∴

3

sinA＜sin（C-30°），即

3

sin（120°-C）＜sin（C-30°），
即

3

（

3

2

cosC+

1

2

sinC）＜

3

2

sinC-

1

2

cosC，
化简得：cosC＜0，即C为钝角，△ABC是钝角三角形，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的对称性，奇偶性，导数与单调性，零点，三角函数的化简等知识点，考查灵活运用公式的能力和灵活运用定义的能力，是一道不错的综合题．