Question

在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A（x₁，y₁），α∈（

π

4

，

π

2

）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转

π

4

，交单位圆于点B（x₂，y₂）．
（1）若x₁=

3

5

，求x₂；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S₁，S₂，且S₁=

4

3

S₂，求tanα的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：三角函数的求值

分析：（1）由A点的横坐标，结合OA在第一象限求得A点的纵坐标，从而得到sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，代入两角和的余弦公式求得x₂；
（2）直接写出△AOC的面积S₁，结合（α+

π

4

）的正弦值为正值，余弦值为负值写出△BOD的面积S₂，再由S₁=

4

3

S₂列式求解tanα的值．

解答： 解：（1）∵x₁=

3

5

，y₁＞0，
∴y1=

1-x12

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．
则x2=cos(α+

π

4

)=cosαcos

π

4

-sinαsin

π

4

=

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

2

10

；
（2）S1=

1

2

sinαcosα=

1

4

sin2α．
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴α+

π

4

∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴S2=-

1

2

sin(α+

π

4

)cos(α+

π

4

)=-

1

4

sin(2α+

π

2

)=-

1

4

cos2α．
∵S₁=

4

3

S₂，
∴sin2α=-

4

3

cos2α，即tan2α=-

4

3

．
∴

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

，解得：tanα=2或tanα=-

1

2

．
∵α∈（

π

4

，

π

2

），
∴tanα=2．

点评：本题考查直线与圆的综合，考查了三角函数的化简求值，解答的关键是理解并熟练运用三角函数线，是中档题．