Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）  求f（x）在[$0，\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．
（Ⅱ） 若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，m]上不单调，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两角和差的正弦公式可得f（x）的解析式，然后利用正弦函数的性质即可求出f（x）在[$0，\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）先求出函数的单调区间，即可求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosx•$\sqrt{3}$sinx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
当x∈[$0，\frac{π}{2}$]时，（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
由正弦函数y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的图象可知，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[f（-$\frac{π}{6}$），f（$\frac{π}{2}$）]=[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）在[$0，\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为1，-$\frac{1}{2}$，
（Ⅱ）：由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$（k∈z），
f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]单调递增，
∵f（x）在[-$\frac{π}{6}$，m]上不单调，
∴m＞$\frac{π}{3}$

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的图象和性质，是中档题．