Question

19．某超市五一促销，随机对10～60岁的人群抽查了n人，调查的每个人若能完整写出5个或5个以上外国节日，则能获得20元优惠券的奖励，若能完整写出8个或8个以上中国传统节日就能获得30元优惠券，调查的每个人都同时回答了这两个问题，统计结果如下表
（Ⅰ）若以表中的频率近似看作各年龄段回答问题获得优惠劵的概率，组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人42岁，孩子16岁）回答这两个问题，两个调查相互独立均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望；
（Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元优惠券的概率．

年龄段	外国传统节日		中国传统节日
	获优惠劵的人数	占本组人数频率	获优惠券的人数	占本组人数频率
[10，20）	30	a	30	0.5
[20，30）	48	0.8	36	0.6
[30，40）	36	0.6	48	0.8
[40，50）	20	0.5	24	b
[50，60]	4	0.2	16	0.8

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意：依题意得在[10，20）年龄段抽查了30÷0.5=60，在[40，50）10，20）年龄段抽查了20÷0.5=0.5，求出a，b，设孩子获得奖励为ξ₁，大人获得奖励为ξ₂，则ξ₁，ξ₂为随机变量，求出分布列．再利用数学期望的计算公式即可得出．
（Ⅱ）该家庭获得奖励为50元优惠券包括“ξ₁=50且ξ₂=0”；“ξ₁=20且ξ₂=30”“ξ₁=30且ξ₂=20”“ξ₁=0且ξ₂
=50”四种情况，由ξ，η的分布列即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意得在[10，20）年龄段抽查了30÷0.5=60 
在[40，50）10，20）年龄段抽查了20÷0.5=0.5 
所以a=30÷60=0.5，b=24÷40=0.6，…2分
设孩子获得奖励为ξ₁，大人获得奖励为ξ₂，“ξ₁=0”表示小孩两个调查都没有获得优惠券
“ξ₁=20”表示小孩获得20元优惠券，但没有获得30优惠劵
“ξ₁=30”表 示小孩没有获得20元优惠券，但获得30优惠劵
“ξ₁=50”表示既获得20元优惠券，又获得30优惠劵
大人同理；则ξ₁，ξ₂为随机变量，其分布列分别为：（各3分）

ξ	0	20	30	50
P（ξ）	0.25	0.25	0.25	0.25

η	0	20	30	50
P（η）	0.2	0.2	0.3	0.3

Eξ₁=25，Eξ₂=28  
该家庭获得奖励的期望Eξ=Eξ₁+Eξ₂=53       9分
（Ⅱ）该家庭获得奖励为50元优惠券包括“ξ₁=50且ξ₂=0”；“ξ₁=20且ξ₂=30”“ξ₁=30且ξ₂=20”“ξ₁=0且ξ₂
=50”四种情况
P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25          12分

点评 本题考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算方法，属于中档题．