Question

16．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F是棱CC₁的中点，P是正方体表面上的一点，若D₁P⊥AF，则线段D₁P长度的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{34}}{4}$]
• C． （0，$\frac{3}{2}$]
• D． （0，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 由P是正方体表面上的一点，且D₁P⊥AF，通过建立空间直角坐标系，数量积运算性质及其正方体的性质即可得出．

解答 解：由P是正方体表面上的一点，且D₁P⊥AF．建立如图所示的空间直角坐标系．
①由D₁B₁⊥对角面ACC₁A₁，则取B₁点时，满足D₁B₁⊥AF，此时线段D₁P长度=$\sqrt{2}$．
②设点Q在直线AB上，则Q（1，t，0），$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$=（1，t，-1），$\overrightarrow{AF}$=$（-1，1，\frac{1}{2}）$，
则$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$•$\overrightarrow{AF}$=-1+t-$\frac{1}{2}$=0，解得t=$\frac{3}{2}$．此时$|\overrightarrow{{D}_{1}P}|$=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$|=$\frac{2}{3}\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$$＜\sqrt{2}$．
由对称性可得：线段D₁P长度取得最大值D₁B=$\sqrt{2}$，
∴线段D₁P长度的取值范围是（0，$\sqrt{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查了正方体的性质、线线线面垂直的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．