Question

17．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}+1，0＜x≤2}\\{lnx，x＞2}\end{array}}\right.$，如果关于x的方程f（x）=k只有一个实根，那么实数k的取值范围是（　　）

• A． $（2，{e^{\frac{3}{2}}}）$
• B． $（\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（ln2，{e^{\frac{3}{2}}}）$
• D． $（ln2，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 由题意可得y=f（x）的图象和直线y=k的交点个数为1．作出y=f（x）的图象和直线y=k，通过观察即可得到k的范围．

解答 解：关于x的方程f（x）=k只有一个实根，
即为y=f（x）的图象和直线y=k的交点个数为1．
作出y=f（x）的图象和直线y=k，如图，
由图象可得当ln2＜k＜$\frac{3}{2}$时，
y=f（x）的图象和直线y=k只有一个交点，
即为关于x的方程f（x）=k只有一个实根．
故选：D．

点评 本题考查方程的根的分布情况，考查函数方程的转化思想的运用，注意运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题．