Question

（本小题共12分）已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集 上的奇函数．（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）讨论关于的方程：的根的个数；
（Ⅲ）设，证明：（为自然对数的底数）．

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ) 见解析 （Ⅲ）见解析

（I）证:令,令时
时,. ∴
∴ 即.
（II）∵是R上的奇函数 ∴ ∴
∴ ∴ 故.
故讨论方程在的根的个数.
即在的根的个数.
令.注意,方程根的个数即交点个数.
对, ,
令, 得， 当时,; 当时,. ∴，
当时,；  当时,，但此时
，此时以轴为渐近线。
①当即时,方程无根;
②当即时,方程只有一个根.
③当即时,方程有两个根.
（Ⅲ）由(1)知,  令,
∴,于是,
∴
.