Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=

2

AB=2，E是PB的中点，求三棱锥A-PED的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直得到PD⊥AC，由正方形性质得到BD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，由此能证明平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）由已知可得三棱锥A-PDE的高为AO（O为对角线交点在△PDE中面积为△PDB的一半，代入可得答案．

解答： （Ⅰ）证明：∵四棱锥底面为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面AEC，
∴平面PBD⊥平面AEC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥平面PBD，∴AC⊥平面PDE，
∴三棱锥A-PDE的高为AO（O为对角线交点），
∵E是PB的中点，
在△PDE中面积为△PDB的一半，
∴S=

1

2

×

1

2

×2×2=1，
∴VA-PDE=

1

3

•S•AO=

1

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥A-PED的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．