Question

在实数集R上的函数f（x）如果满足：对任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为R上的凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求证：a＞0时，函数f（x）为凹函数；
（Ⅱ）如果x∈（0，1]时，|f（x）|≤1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据凹函数的定义有f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立即可；（Ⅱ）问题转化为

a≤ 1 x2 - 1 x -a≤ 1 x2 + 1 x

在

1

x

≥1时恒成立．从而求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0），
∴对任意x₁，x₂∈R，有

f(x1)+f(x2)-2f( x1+x2 2 )=a x 2 1 +x1+a x 2 2 +x2-2[a( x1+x2 2 )2+ x1+x2 2 ] = 1 2 a( x 2 1 ++ x 2 2 -2x1x2)= 1 2 a(x1-x2)2≥0(∵a＞0)

∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]
故函数f（x）=ax²+x（a＞0）为R上的凹函数
（Ⅱ）∵x∈（0，1]时，|f（x）|≤1恒成立，∴x∈（0，1]时，-1≤ax²+x≤1恒成立．
∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1，问题转化为

a≤ 1 x2 - 1 x -a≤ 1 x2 + 1 x

在

1

x

≥1时恒成立．
∵

1

x2

-

1

x

=(

1

x

-

1

2

)2-

1

4

在

1

x

=1时取得最小值0，∴a≤0，
又∵

1

x2

+

1

x

=(

1

x

+

1

2

)2-

1

4

在

1

x

=1时取得最小值2，
∴-a≤2，即a≥-2，
又a≠0，故a∈[-2，0）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查新定义问题，考查不等式的问题，本题属于中档题．