Question

在面积为12的△PEF中，已知tan∠PEF=

1

2

，tan∠PFE=-2，试建立适当直角坐标系，求出分别以E、F为左右焦点且过点P的双曲线方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以E，F为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tan∠PEF=

1

2

，tanα=tan（π-∠EFP）=2，得直线PE和PF的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|EF|=2c，EF上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△EFP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PE|和|PF|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．

解答： 解：以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
设以E，F为焦点且过点P的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
焦点为E（-c，0），F（c，0）．
由tan∠PEF=

1

2

，tan∠EFP=-2，tanα=tan（π-∠EFP）=2，
得直线PE和直线PF的方程分别为y=

1

2

（x+c）和y=2（x-c）．
将此二方程联立，解得x=

5

3

c，y=

4

3

c，即P点坐标为（

5

3

c，

4

3

c）．
在△EFP中，|EF|=2c，EF上的高为点P的纵坐标，
由题设条件S_△EFP=

4

3

c2=12，∴c=3，即P点坐标为（5，4）．
由两点间的距离公式|PE|=

(5+3)2+42

=4

5

，|PF|=

(5-3)2+42

=2

5

∴a=

5

．
又b²=c²-a²=4，
故所求双曲线的方程为

x2

5

-

y2

4

=1．

点评：本题主要考查坐标系、双曲线的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．